単一残基定理実積分
(arctan x) ′ = 1 x 2 + 1 (\arctan x)' = \dfrac{1}{x^2+1} (arctan x) ′ = x 2 + 1 1 を用いると簡単に計算できますが,留数定理を用いても積分できます。 解 実数 R > 0 R > 0 R > 0 を十分大きくとる。
コーシーの積分定理を用いると,領域 D D 内で自由に積分経路を変形できます。. つまり,下図のように2つの向きの付いた閉曲線 C_1 C 1 , C_2 C 2 を考えたとき. \oint_ {C_1} f (z) \; dz = \oint_ {C_2} f (z) \; dz ∮ C1 f (z) dz = ∮ C2 f (z) dz. となることを示します
定積分の単調性. を満たす実数 を端点とする有界な閉区間 上に定義された2つの関数 が以下の条件 を満たすものとします。. つまり、関数 の定義域 上の点 を任意に選んだとき、それに対して が定める値 は が定める値 以上になるということです
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