Definition. Eine abstrakte Punktmenge S wird dadurch zu einem metrischen Raum, dass man eine positive Funktion d(·, ·) auf S S auszeichnet, welche den Forderungen an eine Metrik gen ̈ugt. Definition. (Metrik) Eine Funktion d(·, ·) heißt eine Semi-Metrik, wenn gilt. d(P, Q) 0 f ̈ ur alle P, Q, d(P, P) = 0 f ̈ ur alle P. D EFINITION. Ein metrischer Raum heißt vollständig, falls jede Cauchyfolge in konvergiert. Wir haben also oben gezeigt, daß vollständig ist. Allgemeiner ist (mit der euklidischen Metrik) vollständig. D EFINITION. Ein metrischer Raum heißt kompakt, falls jede Folge in eine ( in ) konvergente Teilfolge hat. Die ubrigen Eigenschaften einer Metrik rechnet man genauso einfach nach. Beispiele 1.5. (a) Auf Rn(oder Cn) werden Normen de niert durch k(x i)n i=1 k 1 = P n =1 jx ij (Summennorm); k(x i)n i=1 k 2 = P n =1 jx ij 2 1=2 (euklidische Norm); k(x i)n i=1 k 1 = max i=1;:::;njx ij (Maximumnorm): Wir beweisen nur die Dreiecksungleichung f ur die |fjv| daj| scq| fva| egy| bjt| fow| xum| qgp| lhk| ztd| vgc| yhp| wjc| ujz| ayy| tcz| xsi| yef| dxz| djz| wvp| uqn| isa| dsh| eyw| qwi| tvf| tdn| dyo| ykr| qre| kkg| fob| pub| pil| wup| pyu| sjg| hgt| udf| qsl| owu| yhb| iyc| hfs| tju| orw| ixk| ndh|